\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tikz,tkz-tab}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.17}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,positioning}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{skins}
\usepackage{array}
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage[numerals=maghrib]{arabic}
\setotherlanguage{french}
\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.15]{Amiri}
\newfontfamily\arabicfontsf[Script=Arabic,Scale=1.15]{Amiri}
\newcommand{\cadre}[1]{\begin{center}\begin{LTR}#1\end{LTR}\end{center}}
\newcommand{\cadrertl}[1]{\begin{center}#1\end{center}}
\newcommand{\ipa}[1]{#1}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcounter{q}
\newcommand{\sujet}[1]{%
  \newpage\stepcounter{q}%
  \begin{tcolorbox}[colback=blue!5,colframe=blue!60!black,arc=3mm,boxrule=1pt]
  \centering {\Large\bfseries مسابقة بين الثانويات -- العلوم الفيزيائية}\\[2mm]
  {\large السؤال رقم \theq \quad -- \quad #1 \quad -- \quad المدة: دقيقتان}
  \end{tcolorbox}\vspace{5mm}\large}
\newcommand{\rep}{\vfill\begin{tcolorbox}[colback=white,colframe=black!50,height=3.2cm,title=الإجابة:]\end{tcolorbox}}
\newenvironment{sanad}{\begin{tcolorbox}[colback=orange!4,colframe=orange!60!black,title=السند,fonttitle=\bfseries]}{\end{tcolorbox}}
\begin{document}
\sujet{التناقص الإشعاعي}

يمثل المنحنى تطور عدد الأنوية المشعة $N(t)$ لعينة من نظير مشع بدلالة الزمن.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=8.5,ymin=0,ymax=1100,xtick={0,1,...,8},ytick={0,250,500,750,1000},xlabel={$t\,(\mathrm{jours})$},ylabel={$N$}]
\addplot[blue,very thick,domain=0:8.3,samples=80]{1000*2^(-x/2)};
\draw[red,dashed,thick] (axis cs:0,500)--(axis cs:2,500)--(axis cs:2,0);\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن بيانياً $N_0$ وزمن نصف العمر $t_{1/2}$، ثم استنتج عدد الأنوية المتبقية عند $t=6$ أيام.

\rep

\sujet{معادلة التفكك}

تتفكك نواة اليورانيوم وفق المعادلة: \[ {}^{238}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} \]

\textbf{السؤال:} باستعمال قانوني الانحفاظ، عيّن $A$ و $Z$، ثم تعرّف على الجسيم $\mathrm{X}$ ونوع النشاط الإشعاعي.

\rep

\sujet{ثابت النشاط الإشعاعي}

ثابت التفكك لنظير مشع هو $\lambda = 6{,}93\times10^{-2}\,\mathrm{s^{-1}}$. نأخذ $\ln 2 \approx 0{,}693$.

\textbf{السؤال:} احسب زمن نصف العمر $t_{1/2}$، ثم ثابت الزمن $\tau$.

\rep

\sujet{شحن مكثفة (RC)}

نشحن مكثفة سعتها $C$ عبر ناقل أومي مقاومته $R=1\,\mathrm{k\Omega}$ بمولد توتره $E$. المنحنى يمثل $u_C(t)$ مع المماس عند المبدأ.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=12.5,ymin=0,ymax=12,xtick={0,2,...,12},ytick={0,2,...,12},xlabel={$t\,(\mathrm{ms})$},ylabel={$u_C\,(\mathrm{V})$}]
\addplot[blue,very thick,domain=0:12,samples=80]{10*(1-exp(-x/2))};
\addplot[red,thick,domain=0:2.2]{5*x};
\draw[gray,dashed,thick] (axis cs:0,10)--(axis cs:12.5,10);\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن بيانياً $E$ وثابت الزمن $\tau$، ثم احسب سعة المكثفة $C$.

\rep

\sujet{الوشيعة (RL)}

نغذي وشيعة (ذاتيتها $L$ ومقاومتها مهملة) مع ناقل أومي مقاومته $R$ بمولد توتره $E=6\,\mathrm{V}$. المنحنى يمثل شدة التيار $i(t)$ مع المماس عند المبدأ.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=62,ymin=0,ymax=0.6,xtick={0,10,...,60},ytick={0,0.1,...,0.6},yticklabel style={/pgf/number format/fixed},xlabel={$t\,(\mathrm{ms})$},ylabel={$i\,(\mathrm{A})$}]
\addplot[blue,very thick,domain=0:60,samples=80]{0.5*(1-exp(-x/10))};
\addplot[red,thick,domain=0:11]{0.05*x};
\draw[gray,dashed,thick] (axis cs:0,0.5)--(axis cs:62,0.5);\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن بيانياً $I_0$ و $\tau$، ثم احسب $R$ و $L$.

\rep

\sujet{الطاقة المخزنة في مكثفة}

مكثفة سعتها $C=10\,\mu\mathrm{F}$ مشحونة تحت توتر $U=100\,\mathrm{V}$.

\textbf{السؤال:} احسب الطاقة المخزنة فيها. ماذا تصبح هذه الطاقة إذا تضاعف التوتر؟

\rep

\sujet{القانون الثاني لنيوتن}

جسم كتلته $m=2\,\mathrm{kg}$ يتحرك على مسار مستقيم أفقي. المنحنى يمثل تطور سرعته $v(t)$.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=6,ymin=0,ymax=12,xtick={0,...,6},ytick={0,2,...,12},xlabel={$t\,(\mathrm{s})$},ylabel={$v\,(\mathrm{m/s})$}]
\addplot[blue,very thick] coordinates {(0,0)(5,10)};\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} احسب التسارع $a$ والمسافة المقطوعة بين $0$ و $5\,\mathrm{s}$، ثم شدة القوة المحصلة المؤثرة على الجسم.

\rep

\sujet{السقوط الحر}

نترك كرية دون سرعة ابتدائية من ارتفاع $h=20\,\mathrm{m}$. نهمل تأثير الهواء ونأخذ $g=10\,\mathrm{m/s^2}$.

\textbf{السؤال:} احسب مدة السقوط وسرعة الكرية لحظة وصولها إلى الأرض.

\rep

\sujet{حركة قذيفة}

نقذف كرية أفقياً بسرعة $v_0=5\,\mathrm{m/s}$ من ارتفاع $h=5\,\mathrm{m}$ عن سطح الأرض ($g=10\,\mathrm{m/s^2}$، نهمل الاحتكاك).

\textbf{السؤال:} احسب مدة الحركة إلى غاية وصولها إلى الأرض، ثم المسافة الأفقية (المدى) المقطوعة.

\rep

\sujet{القانون الثالث لكبلر}

قمر اصطناعي يدور حول الأرض في مدار دائري نصف قطره $r$ ودوره $T$.

\textbf{السؤال:} ذكّر بنص القانون الثالث لكبلر. إذا ضاعفنا نصف قطر المدار 4 مرات، كم مرة يتضاعف الدور؟

\rep

\sujet{الاهتزازات الحرة}

يمثل المنحنى تطور فاصلة نواس مرن $x(t)$ (اهتزازات غير متخامدة).

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=4.2,ymin=-5,ymax=5,xtick={0,0.5,...,4},ytick={-4,-2,0,2,4},xlabel={$t\,(\mathrm{s})$},ylabel={$x\,(\mathrm{cm})$},axis lines=middle]
\addplot[blue,very thick,domain=0:4,samples=150]{4*cos(deg(pi*x))};\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن السعة $X_m$ والدور الذاتي $T_0$، ثم احسب التواتر $f_0$.

\rep

\sujet{النواس المرن}

نواس مرن أفقي يتكون من جسم كتلته $m=100\,\mathrm{g}$ ونابض ثابت مرونته $k=10\,\mathrm{N/m}$.

\textbf{السؤال:} احسب الدور الذاتي $T_0$. كيف يتغير $T_0$ إذا ضاعفنا الكتلة 4 مرات؟

\rep

\sujet{المتابعة الزمنية لتحول كيميائي}

يمثل المنحنى تطور تقدم تفاعل كيميائي $x(t)$ (التحول تام).

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=31,ymin=0,ymax=5,xtick={0,5,...,30},ytick={0,1,...,5},xlabel={$t\,(\mathrm{min})$},ylabel={$x\,(\mathrm{mmol})$}]
\addplot[blue,very thick,domain=0:30,samples=80]{4*(1-exp(-x*ln(2)/5))};
\draw[gray,dashed,thick] (axis cs:0,4)--(axis cs:31,4);\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن التقدم الأعظمي $x_{max}$ وزمن نصف التفاعل $t_{1/2}$.

\rep

\sujet{الـ pH}

محلول لحمض كلور الهيدروجين (حمض قوي) تركيزه $C=10^{-2}\,\mathrm{mol/L}$.

\textbf{السؤال:} احسب الـ $\mathrm{pH}$ للمحلول. ما قيمة الـ $\mathrm{pH}$ بعد تمديده 10 مرات؟

\rep

\sujet{المعايرة حمض – أساس}

نعاير $V_a=20\,\mathrm{mL}$ من محلول حمض الإيثانويك بمحلول هيدروكسيد الصوديوم تركيزه $C_b=0{,}1\,\mathrm{mol/L}$. المنحنى يمثل $\mathrm{pH}=f(V_b)$.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=20.5,ymin=0,ymax=14,xtick={0,2,...,20},ytick={0,2,...,14},xlabel={$V_b\,(\mathrm{mL})$},ylabel={$\mathrm{pH}$}]
\addplot[blue,very thick,smooth] coordinates {(0.0,3.05) (0.5,3.52) (1.0,3.85) (1.5,4.05) (2.0,4.20) (2.5,4.32) (3.0,4.43) (3.5,4.53) (4.0,4.62) (4.5,4.71) (5.0,4.80) (5.5,4.89) (6.0,4.98) (6.5,5.07) (7.0,5.17) (7.5,5.28) (8.0,5.40) (8.5,5.55) (9.0,5.75) (9.5,6.08) (10.0,8.70) (10.5,11.21) (11.0,11.51) (11.5,11.68) (12.0,11.80) (12.5,11.89) (13.0,11.96) (13.5,12.02) (14.0,12.07) (14.5,12.12) (15.0,12.15) (15.5,12.19) (16.0,12.22) (16.5,12.25) (17.0,12.28) (17.5,12.30) (18.0,12.32) (18.5,12.34) (19.0,12.36) (19.5,12.38) (20.0,12.40)};
\draw[red,dashed,thick] (axis cs:5,0)--(axis cs:5,4.8)--(axis cs:0,4.8);
\draw[red,dashed,thick] (axis cs:10,0)--(axis cs:10,8.7);\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} عيّن حجم التكافؤ $V_{bE}$ و $\mathrm{p}K_a$ للثنائية، ثم احسب التركيز $C_a$ للحمض.

\rep

\sujet{الأسترة}

نمزج $1\,\mathrm{mol}$ من حمض الإيثانويك مع $1\,\mathrm{mol}$ من كحول أولي. مردود الأسترة في هذه الحالة $67\%$.

\textbf{السؤال:} احسب كمية مادة الأستر المتشكل عند التوازن، وأعط ميزتين لتفاعل الأسترة.

\rep

\sujet{التكافؤ كتلة – طاقة}

نقص الكتلة خلال تفاعل نووي هو $\Delta m=0{,}02\,\mathrm{u}$. نعطي: $1\,\mathrm{u}$ يكافئ $931{,}5\,\mathrm{MeV}$.

\textbf{السؤال:} احسب الطاقة المحررة بالـ $\mathrm{MeV}$، ثم بالجول ($1\,\mathrm{MeV}=1{,}6\times10^{-13}\,\mathrm{J}$).

\rep

\sujet{منحنى أستون}

يمثل المنحنى طاقة الربط لكل نوية $\dfrac{E_l}{A}$ بدلالة العدد الكتلي $A$.

\cadre{\begin{tikzpicture}\begin{axis}[axis lines=left,grid=both,grid style={gray!25},width=10cm,height=7cm,ticklabel style={font=\small},xmin=0,xmax=245,ymin=0,ymax=10,xtick={0,50,...,250},ytick={0,2,...,10},xlabel={$A$},ylabel={$E_l/A\,(\mathrm{MeV})$}]
\addplot[blue,very thick] coordinates {(1,0)(2,1.1)(3,2.6)(4,7.07)(6,5.3)(7,5.6)(9,6.5)(12,7.68)(16,7.98)(20,8.0)(28,8.45)(40,8.55)(56,8.79)(80,8.71)(100,8.6)(130,8.43)(160,8.25)(200,7.92)(238,7.57)};
\node[red,font=\small] at (axis cs:56,9.4) {${}^{56}\mathrm{Fe}$};\end{axis}\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} ما هي الأنوية الأكثر استقراراً؟ أي الأنوية تتحرر منها طاقة بالاندماج وأيها بالانشطار؟

\rep

\sujet{الحركة على مستوٍ مائل}

جسم صلب ينزلق دون احتكاك على مستوٍ مائل بزاوية $\alpha=30^\circ$ عن الأفق ($g=10\,\mathrm{m/s^2}$).

\cadre{\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\draw[thick,fill=gray!15] (0,0)--(6,0)--(0,3.46)--cycle;
\draw (5,0) arc (180:150:1) node[left=3pt,midway] {$\alpha$};
\begin{scope}[shift={(2.6,1.96)},rotate=-30]
\draw[fill=blue!30,thick] (-0.5,0)rectangle(0.5,0.6);
\draw[-{Stealth},very thick,red] (0,0.3)--++(0,1.1) node[above] {$\vec R$};
\end{scope}
\draw[-{Stealth},very thick,red] (2.75,2.2)--++(0,-1.5) node[below] {$\vec P$};
\end{tikzpicture}}

\textbf{السؤال:} بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، أوجد عبارة التسارع $a$ واحسب قيمته.

\rep

\sujet{انعراج الضوء}

نضيء شقاً عرضه $a=0{,}1\,\mathrm{mm}$ بضوء ليزر طول موجته $\lambda=600\,\mathrm{nm}$.

\textbf{السؤال:} ما اسم الظاهرة الملاحظة على الشاشة؟ احسب الفرق الزاوي $\theta=\dfrac{\lambda}{a}$.

\rep
\newpage
\begin{center}{\LARGE\bfseries الحلول النموذجية (خاصة بلجنة التحكيم)}\end{center}
{\small\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|p{15.5cm}|}\hline
\textbf{رقم} & \textbf{الإجابة:}\\\hline
1 & $N_0=1000$ نواة، $t_{1/2}=2$ يوم. عند $t=6\,\mathrm{j}=3t_{1/2}$: $N=\dfrac{N_0}{2^3}=125$ نواة.\\\hline
2 & $A=238-234=4$ و $Z=92-90=2$: الجسيم هو ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ (نواة الهيليوم)، النشاط من نوع $\alpha$.\\\hline
3 & $t_{1/2}=\dfrac{\ln2}{\lambda}=\dfrac{0{,}693}{0{,}0693}=10\,\mathrm{s}$، و $\tau=\dfrac1\lambda\approx14{,}4\,\mathrm{s}$.\\\hline
4 & $E=10\,\mathrm{V}$، $\tau=2\,\mathrm{ms}$ (فاصلة تقاطع المماس مع المستقيم $u=E$)، $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{2\times10^{-3}}{10^{3}}=2\,\mu\mathrm{F}$.\\\hline
5 & $I_0=0{,}5\,\mathrm{A}$، $\tau=10\,\mathrm{ms}$. $R=\dfrac{E}{I_0}=12\,\Omega$، $L=\tau R=0{,}12\,\mathrm{H}$.\\\hline
6 & $E_C=\frac12 CU^2=\frac12\times10^{-5}\times10^{4}=0{,}05\,\mathrm{J}$. إذا تضاعف التوتر تتضاعف الطاقة 4 مرات: $0{,}2\,\mathrm{J}$.\\\hline
7 & $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=2\,\mathrm{m/s^2}$، المسافة = مساحة المثلث $=\frac12\times5\times10=25\,\mathrm{m}$، $F=ma=4\,\mathrm{N}$.\\\hline
8 & $h=\frac12 g t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\,\mathrm{s}$، $v=gt=20\,\mathrm{m/s}$.\\\hline
9 & الحركة الشاقولية سقوط حر: $t=\sqrt{2h/g}=1\,\mathrm{s}$. الحركة الأفقية منتظمة: $x=v_0t=5\,\mathrm{m}$.\\\hline
10 & $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ ثابت. إذا $r'=4r$ فإن $T'^2=64T^2$، أي $T'=8T$.\\\hline
11 & $X_m=4\,\mathrm{cm}$، $T_0=2\,\mathrm{s}$، $f_0=\frac{1}{T_0}=0{,}5\,\mathrm{Hz}$.\\\hline
12 & $T_0=2\pi\sqrt{\frac mk}=2\pi\sqrt{0{,}01}=0{,}2\pi\approx0{,}63\,\mathrm{s}$. إذا $m'=4m$ يتضاعف الدور مرتين: $T_0'=2T_0\approx1{,}26\,\mathrm{s}$.\\\hline
13 & $x_{max}=4\,\mathrm{mmol}$. $t_{1/2}$ هو الزمن الموافق لـ $x=\frac{x_{max}}{2}=2\,\mathrm{mmol}$: $t_{1/2}=5\,\mathrm{min}$.\\\hline
14 & حمض قوي: $[\mathrm{H_3O^+}]=C$، $\mathrm{pH}=-\log10^{-2}=2$. بعد التمديد 10 مرات: $C'=10^{-3}$، $\mathrm{pH}=3$.\\\hline
15 & $V_{bE}=10\,\mathrm{mL}$، عند نصف التكافؤ ($V_b=5\,\mathrm{mL}$): $\mathrm{p}K_a=\mathrm{pH}=4{,}8$. $C_a=\dfrac{C_bV_{bE}}{V_a}=0{,}05\,\mathrm{mol/L}$.\\\hline
16 & $n_{ester}=0{,}67\,\mathrm{mol}$. الأسترة تفاعل بطيء ومحدود (عكوس، ولا حراري تقريباً)، ثابت توازنه $K=4$.\\\hline
17 & $E=0{,}02\times931{,}5=18{,}63\,\mathrm{MeV}\approx2{,}98\times10^{-12}\,\mathrm{J}$.\\\hline
18 & الأكثر استقراراً هي التي $E_l/A$ لها أكبر ($A$ بين 40 و 100 تقريباً، مثل الحديد 56). الأنوية الخفيفة ($A<20$) تندمج، والثقيلة ($A>190$) تنشطر.\\\hline
19 & بالإسقاط على محور الحركة: $mg\sin\alpha=ma$، ومنه $a=g\sin\alpha=10\times0{,}5=5\,\mathrm{m/s^2}$.\\\hline
20 & ظاهرة الانعراج (تُثبت الطبيعة الموجية للضوء). $\theta=\dfrac{600\times10^{-9}}{10^{-4}}=6\times10^{-3}\,\mathrm{rad}$.\\\hline
\end{tabular}}
\end{document}